Question

已知函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数
（1）求实数m的取值集合A．
（2）当m取值集合A．中的最小值时，定义数列{a_n}；满足a₁=3，且a_n＞0，，求数列{a_n}的通项公式
（3）若b_n=na_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n．

Answer

（1）先求出导数f′（x），再由条件得f′（x）=-3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，分离出m后再求出m的范围；
（2）由（1）求出m的值，代入f′（x）后，再代入进行化简得到=3，结论即得到证明；
（3）根据（2）求出bn，再由通项公式的特点，利用错位相减法求出Sn，由表达式就可以证明结论．
【解析】
（1）由题意得f′（x）=-3x2+m，
∵f（x）=-x3+mx在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）=-3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x2，得m≥3，
故所求的集合A为[3，+∞）；
（2）由（1）得，m=3，∴f′（x）=-3x2+3，
∵，an＞0，
∴=3an，即=3，
∴数列{an}是以3为首项和公比的等比数列，
故an=3n；
（3）由（2）得，bn=nan=n•3n，
∴Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n        ①
3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1      ②
①-②得，-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1=-n•3n+1
化简得，Sn=＞．