Question

选修4-5：不等式选讲
已知|x-4|+|3-x|＜a
（1）若不等式的解集为空集，求a的范围
（2）若不等式有解，求a的范围．

Answer

（1）欲使得不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集是空集，只须a小于等于函数|x-3|+|x-4|的最小值即可，利用绝对值不等式的性质求出此函数的最小值即可．
（2）若不等式有解，则 a的范围为（1）中a的范围的补集即可．
【解析】
（1）不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集为∅⇔|x-3|+|x-4|＜a的解集为∅．
又∵|x-3|+|x-4|≥|x-3-（x-4）|=1，
∴|x-3|+|x-4|的最小值为1，
|x-3|+|x-4|＜a的解集为∅．
只须a小于等于|x-3|+|x-4|的最小值即可，
a≤1，
故a的范围为：（-∞，1]．
（2）若不等式有解，则 a的范围为（1）中a的范围的补集．
即a的范围为：a＞1．