Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，（n∈N^*，p为常数），a₁，a₂+6，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足，证明：．

Answer

（Ⅰ）根据a1=4，，可得数列的前3项，利用a1，a2+6，a3成等差数列，确定p的值，再利用叠加法，可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）确定以，进而可知n≥2时 bn+1＜bn，结合，，可证结论．
（Ⅰ）【解析】
因为a1=4，，
所以；．
因为a1，a2+6，a3成等差数列，所以2（a2+6）=a1+a3，
即6p+10+12=4+12p+6，所以p=2．
依题意，，
所以当n≥2时，，，
…，．
相加得，
所以，
所以．
当n=1时，成立，
所以．                            
（Ⅱ）证明：因为，所以．
因为，（n∈N*）．
若-2n2+2n+1＜0，则，即n≥2时，bn+1＜bn．
又因为，，所以．