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如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD...

如图,已知矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD的中点,沿AO将三角形AOD折起,使manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求证:平面AOD⊥平面ABCO;
(Ⅱ)求直线BC与平面ABD所成角的正弦值.

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(1)要证明面面垂直,常用其判定定理来证明,即在其中一个平面内找到一条直线与另一平面垂直; (2)空间中求线面角,常用空间向量来解决,即建立空间直角坐标系后,求直线的方向向量与平面的法向量,再求其夹角的余弦即是所求. (Ⅰ)证明:∵在矩形ABCD中,AB=2AD=2,O为CD中点, ∴△AOD,△BOC为等腰直角三角形, ∴∠AOB=90°,即OB⊥OA.…(1分) 取AO中点H,连结DH,BH,则OH=DH=, 在Rt△BOH中,BH2=BO2+OH2=, 在△BHD中,DH2+BH2=,又DB2=3, ∴DH2+BH2=DB2,∴DH⊥BH.…(2分) 又DH⊥OA,OA∩BH=H …(3分) ∴DH⊥面ABCO,…(4分) 而DH∈平面AOD,…(5分) ∴平面AOD⊥平面ABCO.…(6分) (Ⅱ)【解析】 分别以直线OA,OB为x轴和y轴,O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则,,,. ∴.…(7分) 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,z), 由得 即x=y,x=z,令x=1,则y=z-1, 取n=(1,1,1).…(9分) 设α为直线BC与平面ABD所成的角, 则.…(11分) 即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为.…(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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