Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使．
（Ⅰ）求证：平面AOD⊥平面ABCO；
（Ⅱ）求直线BC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer

（1）要证明面面垂直，常用其判定定理来证明，即在其中一个平面内找到一条直线与另一平面垂直；
（2）空间中求线面角，常用空间向量来解决，即建立空间直角坐标系后，求直线的方向向量与平面的法向量，再求其夹角的余弦即是所求．
（Ⅰ）证明：∵在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD中点，
∴△AOD，△BOC为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，即OB⊥OA．…（1分）
取AO中点H，连结DH，BH，则OH=DH=，
在Rt△BOH中，BH2=BO2+OH2=，
在△BHD中，DH2+BH2=，又DB2=3，
∴DH2+BH2=DB2，∴DH⊥BH．…（2分）
又DH⊥OA，OA∩BH=H …（3分）
∴DH⊥面ABCO，…（4分）
而DH∈平面AOD，…（5分）
∴平面AOD⊥平面ABCO．…（6分）
（Ⅱ）【解析】
分别以直线OA，OB为x轴和y轴，O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．
∴．…（7分）
设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），
由得
即x=y，x=z，令x=1，则y=z-1，
取n=（1，1，1）．…（9分）
设α为直线BC与平面ABD所成的角，
则．…（11分）
即直线BC与平面ABD所成角的正弦值为．…（12分）