Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，且椭圆C上一点N到点Q（0，3）的距离最大值为4，过点M（3，0）的直线交椭圆C于点A、B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由离心率e=及a2=b2+c2可得关于a，b的方程，由此可简化椭圆方程，设N（x，y），则|NQ|可表示为关于y的函数，据此可求得其最大值为4，解得b，进而求得a；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x-3），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，由△＞0得，由韦达定理及可用k、t表示出点P的坐标，代入椭圆方程得36k2=t2（1+4k2）①，由弦长公式及可得，故②，联立①②可求得t的范围；
【解析】
（Ⅰ）∵，∴a2=4b2，
则椭圆方程为，即x2+4y2=4b2．
设N（x，y），则=，
当y=-1时，|NQ|有最大值为，
解得b2=1，∴a2=4，椭圆方程是；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），AB方程为y=k（x-3），
由，整理得（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0．
由△=242k4-16（9k2-1）（1+4k2）＞0，得，
．
∴，
则，．
由点P在椭圆上，得，化简得36k2=t2（1+4k2）①，
又由，即，
将x1+x2，x1x2代入得，化简得（8k2-1）（16k2+13）＞0，则，
∴②，由①，得，联立②，解得3＜t2＜4，
∴或．