Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数g（x）的极大值．
（Ⅱ）求证：存在x∈（1，+∞），使；
（Ⅲ）对于函数f（x）与h（x）定义域内的任意实数x，若存在常数k，b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线．试探究函数f（x）与h（x）是否存在“分界线”？若存在，请给予证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，即可求函数g（x）的极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，构造新函数，利用零点存在定理，即可证得结论；
（Ⅲ）构造新函数，求导数，确定函数的单调性，可得函数f（x）与h（x）的图象在处有公共点（），设f（x）与h（x）存在“分界线”且方程为，构造函数，确定函数的单调性，即可求得结论．
（Ⅰ）【解析】
．…（1分）
令g′（x）＞0，解得0＜x＜1；令g′（x）＜0，解得x＞1．…（2分）
∴函数g（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）
所以g（x）的极大值为g（1）=-2．…（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知g（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
令，∴，…（5分）
取x′=e＞1，则=．…（6分）
故存在x∈（1，e），使φ（x）=0，即存在x∈（1，+∞），使．…（7分）
（说明：x′的取法不唯一，只要满足x′＞1，且φ（x′）＜0即可）
（Ⅲ）【解析】
设，则
则当时，F′（x）＜0，函数F（x）单调递减；当时，F′（x）＞0，函数F（x）单调递增．
∴是函数F（x）的极小值点，也是最小值点，
∴．
∴函数f（x）与h（x）的图象在处有公共点（）．…（9分）
设f（x）与h（x）存在“分界线”且方程为，
令函数
①由h（x）≥u（x），得在x∈R上恒成立，
即在x∈R上恒成立，
∴，
即，
∴，故．…（11分）
②下面说明：f（x）≤u（x），
即恒成立．
设
则
∵当时，V′（x）＞0，函数V（x）单调递增，
当时，V′（x）＜0，函数V（x）单调递减，
∴当时，V（x）取得最大值0，V（x）≤V（x）max=0．
∴成立．…（13分）
综合①②知，且，
故函数f（x）与h（x）存在“分界线”，
此时．…（14分）