Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，AA₁⊥底面ABCD，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E、F分别是侧棱BB₁、CC₁上一点，BE=1，CF=2，平面AEF与侧棱DD₁相交于G．
（1）证明：平面AEFG⊥平面BB₁C₁C；
（2）求线段CG与平面AEFG所成角的正弦值；
（3）求以C为顶点，四边形AEFG在对角面BB₁D₁D内的正投影为底面边界的棱锥的体积．

Answer

（1）先利用条件证明BD⊥平面AA1D1D，再推得GE∥BD⇒GE⊥平面BB1C1C⇒平面AEFG⊥平面BB1C1C．
（2）先利用条件证明CE⊥平面AEFG，⇒∠CGE是CG与平面AEFG所成的角，然后在△CGE中求线段CG与平面AEFG所成角的正弦值即可；
（3）因为四边形AEFG在对角面BB1D1B内的正投影为平行四边形，且点A的正投影为点D，所以找到底面积，
高h=BC=1，再代入体积计算公式即可．
方法二：是用建立空间直角坐标系D-xyz的方法来求
（1）先利用条件找到平面AEFG的一个法向量和平面BB1C1C的一个法向量，再推得他们的数量积为0即可．
（2）把线段CG与平面AEFG所成角的正弦值转化为求平面AEFG的一个法向量与所成角的余弦值的绝对值来求．
【解析】
（1）证明：连接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因为AA1⊥底面ABCD，AA1⊥BD，AA1∩AD=A，
所以BD⊥平面AA1D1D，因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
所以AE∥FG，同理AG∥EF，所以AEFG是平行四边形，
所以AG=EF，，所以DG=CF-BE=1=BE，
连接EG，因为DG∥BE，所以BDGE是平行四边形，GE∥BD，
因为BD⊥平面AA1D1D，所以GE⊥平面BB1C1C，GE⊂平面AEFG，所以平面AEFG⊥平面BB1C1C．

（2）连接CE，因为CF=2、CE==EF，CF2=CE2+EF2，所以CE⊥EF，
因为平面AEFG⊥BB1C1C，平面AEFG∩BB1C1C=EF，CE⊂平面BB1C1C，所以CE⊥平面AEFG，
连接EG，则CE⊥EG，∠CGE是CG与平面AEFG所成的角，
因为CG=，所以sin∠CGE=．

（3）四边形AEFG在对角面BB1D1B内的正投影为平行四边形，且点A的正投影为点D，
所以底面积S=DG×GE=（12分），
高h=BC=1（14分），所以棱锥的体积V=．
方法二：（1）连接BD，在△ABD中，由余弦定理得BD=，
由勾股定理逆定理得∠ADB=90°，AD⊥BD，
又因为AA1⊥底面ABCD，所以以D为坐标原点，DA、DB、DD1
所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0）、、，
设平面AEFG的一个法向量为=（a，b，c），则，，
取a=1得=（1，0，1），平面BB1C1C的一个法向量为=（0，1，0），
因为=0，所以平面AEFG⊥BB1C1C．

（2）设G（0，0，d），因为平面AA1D1D∥平面BB1C1C，所以AE∥FG，同理AG∥EF，
所以AEFG是平行四边形，所以，
即（-1，0，d）=（-1，0，1），解得d=1，又，所以，
设CG与平面AEFG所成角为θ，则sinθ=|cos＜．