Question

已知函数f（x）=x|x-a|，a∈R是常数．
（1）若a=1，求y=f（x）在点P（-1，f（-1））处的切线；
（2）是否存在常数a，使f（x）＜2x+1对任意x∈（-∞，2）恒成立？若存在，求常数a的取值范围；若不存在，简要说明理由．

Answer

（1）先去绝对值，利用分段函数表示出函数f（x），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=-1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简；
（2）讨论x的正负，将a分离出来，x=0时，对任意a∈R恒成立，0＜x＜2时，转化成，然后利用导数研究两边函数的最值，得到a的范围，x＜0时，转化成或对任意x∈（-∞，2）恒成立，求出a的范围，最后求出a的交集即可．
【解析】
（1）a=1时，，在点P（-1，f（-1））附近，
f（x）=x-x2，f/（x）=1-2x，所以P（-1，-2），k=f/（-1）=3，所求切线方程为y+2=3（x+1），即3x-y+1=0．
（2）f（x）＜2x+1即x|x-a|＜2x+1（*）
x=0时，（*）等价于0＜1，对任意a∈R恒成立．
0＜x＜2时，（*）等价于，即，，等号当且仅当x=1时成立，
，在0＜x＜2单调递增，，所以（9分）．
x＜0时，（*）等价于，即或，，
等号当且仅当-x=1即x=-1时成立，所以a＞0，
在x＜0时的取值范围为R，所以恒成立的a的解集为空集φ．
所以，常数a的取值范围为．