Question

已知数列{a_n}满足：a₁=λ，，其中λ∈R是常数，n∈N^*．
（1）若λ=-3，求a₂、a₃；
（2）对∀λ∈R，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若λ+12＞0，讨论{S_n}的最小项．

Answer

（1）由题意可得a1=-3，把n=2，n=3分别代入递推公式可求a2，a3
（2）利用待定系数法构造数列bn=an-3n+15为等比数列，可先求数列bn的前n项和，然后利用分组求和求数列{an}的前项和sn
（3）结合（2）可先求an=，观察可得当n≥5时，an＞0，通过计算，从而对①②③④分别进行判断数列单调性，从而求和的最小值．
【解析】
（1）a1=-3，a2=+（1-2）=-3，a3=a2+（2-2）=-2．
（2）设bn=an+αn+β，α、β∈R是常数，代入得，
解，
得，即bn=an-3n+15，．
若λ≠-12，则{bn}是首项为b1=λ+12≠0、公比为的等比数列，
所以{bn}的前n项和
数列{3n-15}的前n项和为，所以．
若λ=-12，则bn=0，an=3n-15，9．
综上所述，∀λ∈R，．
（3），
a1=λ，，，，
当n≥5时an＞0，
所以，当时，∀n∈N*有an＞0，{Sn}的最小项是S1；
当时，{Sn}的最小项是S1、S2和S3；
当时，{Sn}的最小项是S3；
当时，{Sn}的最小项是S3和S4；当时，{Sn}的最小项是S4．