Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁与抛物线交于P，Q两点，l₂与抛物线交于M，N两点，设l₁的斜率为k．若某同学已正确求得弦PQ的中垂线在y轴上的截距为，则弦MN的中垂线在y轴上的截距为    ．

Answer

根据点斜式知道直线l2的方程为y=，设出M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则根据M，N在抛物线y2=2px（p＞0）知：，①-②知（y12-y22）=2p（x1-x2），根据斜率得到MN的中点坐标，从而得到弦MN的中垂线方程，即可求解
【解析】
设出M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
∵M，N在抛物线y2=2px（p＞0）
∴
①-②知（y12-y22）=2p（x1-x2）
∵=
∴y1+y2=-2kp
∵M，N在直线l2：y=上
∴x1+x2=2p（k2+1）
即弦MN的中点坐标为（p（k2+1），-kp）
∵过定点（p，0）作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与抛物线交于P，Q两点，l2与抛物线交于M，N两点，设l1的斜率为k
∴
∴弦MN的中垂线的斜率为k
∴弦MN的中垂线的方程为：y+kp=k（x-p（k2+1）），
令x=0得y=-2pk-pk3
故答案为：-2pk-pk3