Question

已知数列a，b，c是各项均为正数的等差数列，公差为d（d＞0）．在a，b之间和b，c之间共插入n个实数，使得这n+3个数构成等比数列，其公比为q．
（1）求证：|q|＞1；
（2）若a=1，n=1，求d的值；
（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，且s，t都为奇数，试比较s与t的大小，并求插入的n个数的乘积（用a，c，n表示）．

Answer

（1）先由条件求出知，又有c=a+2d代入即可得|qn+2|＞1，就可证明结论；
（2）先求出b=1+d，c=1+2d，然后对插入的数分所在位置所存在的两种情况分别求出d的值即可；
（3）先由条件求得|q|s+1＞|q|t+1⇒s＞t．然后再对q所存在的可为正数，也可为负数两种情况分别求出插入的n个数的乘积即可．
【解析】
（1）由题意知，c=a+2d，
又a＞0，d＞0，可得，（2分）
即|qn+2|＞1，故|q|n+2＞1，又n+2是正数，故|q|＞1．（4分）
（2）由a，b，c是首项为1、公差为d的等差数列，故b=1+d，c=1+2d，
若插入的这一个数位于a，b之间，则1+d=q2，1+2d=q3，
消去q可得（1+2d）2=（1+d）3，即d3-d2-d=0，其正根为．（7分）
若插入的这一个数位于b，c之间，则1+d=q，1+2d=q3，
消去q可得1+2d=（1+d）3，即d3+3d2+d=0，此方程无正根．
故所求公差． （9分）
（3）由题意得，，又a＞0，d＞0，
故，可得，又，
故qs+1＞qt+1＞0，即|q|s+1＞|q|t+1．
又|q|＞1，故有s+1＞t+1，即s＞t． （12分）
设n+3个数所构成的等比数列为an，则，
由akan+4-k=a1an+3=ac（k=2，3，4，n+2），
可得（a2a3an+2）2=（a2an+2）（a3an+1）（an+1a3）（an+2a2）=（ac）n+1，（14分）
又，，
由s，t都为奇数，则q既可为正数，也可为负数，
①若q为正数，则a2a3an+2=，插入n个数的乘积为；
②若q为负数，a2，a3，an+2中共有个负数，
故a2a3，所插入的数的乘积为．
所以当n=4k-2（k∈N*）时，所插入n个数的积为；
当n=4k（k∈N*）时，所插入n个数的积为．（18分）