Question

如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为a_n的正方形A_nB_nC_nD_n（n=1，2，…），其对角线B_nD_n依次放置在x轴上（相邻顶点重合）．设{a_n}是首项为a，公差为d（d＞0）的等差数列，点B₁的坐标为（d，0）．
（1）当a=8，d=4时，证明：顶点A₁、A₂、A₃不在同一条直线上；
（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点A_n均落在抛物线y²=2x上；
（3）为使所有顶点A_n均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，求a与d之间所应满足的关系式．

Answer

（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；
（2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；
（3）顶点An的横、纵坐标，消去n-1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．
（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8），
∴．
∵，
∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
（2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标=2（n+1）2，
顶点An的纵坐标．
∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，
∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．
（3）【解析】
由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是，
消去n-1，可得
为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有
解之，得d=4p，a=8p．
∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．