Question

已知等差数列{a_n}中a₁=1，公差d＞0，前n项和为S_n，且S₁，S₃-S₂，S₅-S₃成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ）设，证明：b₁+b₂+…+b_n＜2．

Answer

（I）利用等差数列的通项公式即可得到S1=a1=1，S3-S2=a3=1+2d，S5-S3=a4+a5=2+7d，再利用等比数列的定义及S1，S3-S2，S5-S3成等比数列，可得（1+2d）2=1×（2+7d），解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用（I）的结论和裂项求和即可证明．
（Ⅰ）【解析】
由题意S1=a1=1，S3-S2=a3=1+2d，S5-S3=a4+a5=2+7d，
∵S1，S3-S2，S5-S3成等比数列，
∴（1+2d）2=1×（2+7d），
解得（舍去）或d=1
∴an=n，
．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得
∴b1+b2+…+bn==＜2
即b1+b2+…+bn＜2．