Question

过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点．则=    ；若该抛物线上有两点M、N，满足OM⊥ON，则直线MN必过定点    ．

Answer

（1）由抛物线方程可求焦点F，设出直线AB的方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A两点坐标，由韦达定理可以求得答案．
（2）设MN的方程，联立直线与抛物线方程，根据方程的根与系数关系可得M，N的坐标的关系式，根据MO⊥NO推断出，即可
【解析】
∵抛物线焦点F（0，）
设过焦点F的直线AB的方程为y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程可得x2-2kx-1=0
∴x1x2=-1，==
∵=x1x2+y1y2=
设直线MN的方程为y=mx+n，M（a，b），N（c，d）
联立方程可得x2-2mx-2n=0
则c+c=2m，ac=-2n，bd==n2
∵OM⊥ON
∴=ac+bd=-2n+n2=0
∵n≠0
∴n=2，，即直线MN的方程为y=mx+2，从而可得直线MN过定点（0，2）
故答案为：；（0，2）