(1)取BC边的中点D,连接AD、PD,由三棱锥P-ABC为正三棱锥可得:AD⊥BC,PD⊥BC,故BC⊥平面APD.所以PA⊥BC.
(2)在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离.本题求点到面的距离可采用找垂面的方法:找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段.由(1)可知平面PBC⊥平面APD,则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.过点O作OE⊥PD,E为垂足,则OE就是点O到侧面的距离.
(1)证明:取BC边的中点D,连接AD、PD,
则AD⊥BC,PD⊥BC,故BC⊥平面APD.∴PA⊥BC.
(2)【解析】
如图,由(1)可知平面PBC⊥平面APD,
则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角.
过点O作OE⊥PD,E为垂足,则OE就是点O到侧面的距离.
设OE为h,由题意可知点O在AD上,
∴∠PDO=60°,OP=2h.
∵,
∴,
∵,∴h=3.
即底面中心O到侧面的距离为3.