Question

已知数列{a_n}中，，且，
（Ⅰ）求证：k=1；
（Ⅱ）设，f（x）是数列{g（x）}的前n项和，求f（x）的解析式；
（Ⅲ）求证：不等式对n∈N₊恒成立．

Answer

（I）利用中n=2，及a1=1，得到a3a1=a2a1，即；再利用，得到，即可证明．
（II）利用“累成求积”即可得到g（x），再利用“错位相减法”及等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出f（x）；
（III）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，则=（n-1）•2n+1，又，利用数学归纳法证明：不等式对n∈N+恒成立．
（I）证明：∵，
∴，
又∵
则a3a1=a2a1，即，又，∴a2=2k．
∴k+1=2k，解得k=1．
（2）∵，∴=n•（n-1）…2•1=n!
∵=nxn-1
∴当x=1时，，
当x≠1时，f（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1．
得xf（x）=x+2x2+3x3+…+（n-1）xn-1+nxn
两式相减得（1-x）f（x）=1+x+x2+…+xn-1-nxn=
∴f（x）=
综上所述：．
（3）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，
则=（n-1）•2n+1，
又，下面利用数学归纳法证明：不等式对n∈N+恒成立．
易验证当n=1，2，3时不等式恒成立； 
假设n=k（k≥3），不等式成立，即3k＞（k-1）2k+1
两边乘以3得：3k+1＞3（k-1）2k+3=k•2k+1+1+3（k-1）2k-k2k+1+2
又因为3（k-1）2k-k•2k+1+2=2k（3k-3-2k）+2=（k-3）2k+2＞0
所以3k+1＞k•2k+1+1+3（k-1）2k-k2k+1+2＞k•2k+1+1
即n=k+1时不等式成立．
故不等式恒成立．