Question

在平面直角坐标系xOy中，F₁（-4，0），F₂（4，0），P是平面上一点，使三角形PF₁F₂的周长为18．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）在P点的轨迹上是否存在点P₁、P₂，使得顺次连接点F₁、P₁、F₂、P₂所得到的四边形F₁P₁F₂P₂是矩形？若存在，请求出点P₁、P₂的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）利用椭圆的定义即可求出；
（2）利用椭圆的对称性和矩形的性质即可得出．
【解析】
（1）依题意，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=18，∴|F1F2|=8，
∴|PF1|+|PF2|=10，点P的轨迹是椭圆，且2a=10，2c=8，
∴a=5，c=4，b==3，椭圆的方程为，
∵PF1F2是三角形，点P不在直线F1F2上（即不在x轴上），
∴点P的轨迹方程为（y≠0）．
（2）根据椭圆的对称性，F1P1F2P2是矩形当且仅当直线P1P2经过原点O，且∠F1P1F2是直角，此时（或），
设P1（x，y），则，解得，，
∴有2个这样的矩形F1P1F2P2，对应的点P1、P2分别为、或、．