Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和S_n，且满足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，求i的值；
（2）设，是否存在一个最小的常数m使得b₁+b₂+…+b_n＜m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先利用方程组思想，确定等差数列{an}的通项，再利用1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，建立方程，即可求i的值；
（2）求得数列的通项，利用裂项法求和，即可求得m的值．
【解析】
（1）由题意，∵a2•a4=65，a1+a5=18．
∴（a1+d）（a1+3d）=65，a1+a1+4d=18．
∵d＞0，∴d=4，a1=1
∴an=4n-3，
∵a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，
∴a1a21=
∴1•81=（4i-3）2
∵1＜i＜21，∴i=3；
（2）由（1）可得
∴==（）
∴b1+b2+…+bn=（+…+）==
∵b1+b2+…+bn＜m对于任意的正整数n均成立，
∴