Question

定义：对函数y=f（x），对给定的正整数k，若在其定义域内存在实数x，使得f（x+k）=f（x）+f（k），则称函数f（x）为“k性质函数”．
（1）若函数f（x）=2^x为“1性质函数”，求x；
（2）判断函数是否为“k性质函数”？说明理由；
（3）若函数为“2性质函数”，求实数a的取值范围．

Answer

做题时要紧扣新概念“k性质函数”（满足f（x+k）=f（x）+f（k））．
（1）由于函数f（x）=2x为“1性质函数”，则f（x+1）=f（x）+f（1），代入函数解析式可得x的值；
（2）开放性命题，假设函数是为“k性质函数”．则满足f（x+k）=f（x）+f（k）得到关于x的二次方程，若方程有解，则函数f（x）=是为“k性质函数”，若方程无解，则函数不是为“k性质函数”；
（3）由于函数为“2性质函数”，则f（x+2）=f（x）+f（2），代入解析式得到关于x的二次方程，a为方程的参数，由于方程一定有解，得到关于a的不等式解出即可．
（本题满分（16分），第（1）小题（4分），第2小题（6分），第3小题6分）
【解析】
（1）由f（x+1）=f（x）+f（1）得，…（2分）
∴，∴x=1．                                           …（4分）
（2）若存在x满足条件，
则即，…（7分）
∵△=k2-4k2=-3k2＜0，∴方程无实数根，与假设矛盾．
∴不能为“k性质函数”．                                …（10分）
（3）由条件得：，…（11分）
即（a＞0），
化简得，…．（13分）
当a=5时，x=-1；                                                …（14分）
当a≠5时，由△≥0，
16a2-20（a-5）（a-1）≥0即a2-30a+25≤0，
∴．
综上，                             …（16分）