Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P₁，P₂两点，已知|P₁P₂|=8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（3，0）作方向向量为的直线与曲线C相交于A，B两点，求△FAB的面积S（a）并求其值域；
（3）设m＞0，过点M（m，0）作直线与曲线C相交于A，B两点，问是否存在实数m使∠AFB为钝角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，|P1P2|=8，可得p的值，从而可得抛物线C的方程；
（2）直线方程为y=a（x-3）代入y2=8x，利用韦达定理，可表示出△FAB的面积S（a），从而可求其值域；
（3）设直线方程为py=x-m代入y2=8x，利用∠AFB为钝角，可得，进而可得m2-12m+4＜16p2，该不等式对任意实数p恒成立，由此可得m的取值范围．
【解析】
（1）由条件|P1P2|=8，可得2p=8，∴抛物线C的方程为y2=8x；…．（4分）
（2）直线方程为y=a（x-3）代入y2=8x，∴ay2-8y-24a=0，…．（6分）
△=64+96a2＞0恒成立．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，…．（7分）
，…．（9分）
∴．…．（10分）
（3）设所作直线的方向向量为，则直线方程为py=x-m代入y2=8x得y2-8py-8m=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2=8p，y1y2=-8m．…．（12分）
又F（2，0），则，
∵∠AFB为钝角，∴，∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0，…．（14分）
即x1x2-2（x1+x2）+4-8m＜0，∴
∴m2-12m+4＜16p2，该不等式对任意实数p恒成立，…．（16分）
因此m2-12m+4＜0，∴．…．（17分）
又m≠2，因此，当时满足条件．…．（18分）