Question

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AB，BB'，B'C'，C'D'的中点分别是E，F，G，H，如图所示．
（Ⅰ）求证：AD'∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：A'C⊥平面EFG；
（Ⅲ）判断点A，D'，H，F是否共面？并说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用正方体的性质以及题中的条件，证明FG∥AD'，再根据直线和平面平行的判定定理证得AD'∥平面EFG．
（Ⅱ）利用直线和平面垂直的判定定理、性质定理证明BC'⊥A'C，A'C⊥EF，从而证明A'C⊥平面EFG．
（Ⅲ）点A，D'，H，F不共面，用反证法证明如下：假设A，D'，H，F共面，由（Ⅰ）可证得C'F∥BC'，而C'F与BC'相交，这是矛盾的，故假设不对．
（Ⅰ）证明：连接BC'，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=C'D'，AB∥C'D'．
所以，四边形ABC'D'是平行四边形，所以，AD'∥BC'．
因为 F，G分别是BB'，B'C'的中点，所以 FG∥BC'，所以，FG∥AD'．
因为 EF，AD'是异面直线，所以，AD'⊄平面EFG．
因为 FG⊂平面EFG，所以，AD'∥平面EFG．
（Ⅱ）证明：连接B'C，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，A'B'⊥平面BCC'B'，BC'⊂平面BCC'B'，所以，A'B'⊥BC'．
在正方形BCC'B'中，B'C⊥BC'，
因为 A'B'⊂平面A'B'C，B'C⊂平面A'B'C，A'B'∩B'C=B'，所以，BC'⊥平面A'B'C．
因为  A'C⊂平面A'B'C，所以，BC'⊥A'C．
因为 FG∥BC'，所以，A'C⊥FG，同理可证：A'C⊥EF．
因为 EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，所以，A'C⊥平面EFG．
（Ⅲ）点A，D'，H，F不共面．理由如下：
假设A，D'，H，F共面．连接C'F，AF，HF．
由（Ⅰ）知，AD'∥BC'，因为 BC'⊂平面BCC'B'，AD'⊄平面BCC'B'，所以，AD'∥平面BCC'B'．
因为 C'∈D'H，所以，平面AD'HF∩平面BCC'B'=C'F．
因为 AD'⊂平面AD'HF，所以 AD'∥C'F．
所以，C'F∥BC'，而C'F与BC'相交，矛盾．
所以，点A，D'，H，F不共面．