Question

已知函数f（x）=（a≠0，a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，若对任意x₁，x₂∈[-3，+∞），有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求实数m的最小值．

Answer

（Ⅰ）求导函数，分类讨论，由导数的正负，即可求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数，对任意x1，x2∈[-3，+∞），有f（x1）-f（x2）≤m成立，等价于f（x）max-f（x）min≤m求实数m的最小值．
【解析】
求导函数，可得．
令f′（x）=0，解得x=a或x=-3a．
（Ⅰ）当a＞0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

x （-∞，-3a） -3a （-3a，a） a （a，+∞）
f′（x） - + -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

函数f（x）的单调递增区间是（-3a，a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，-3a），（a，+∞）．
当a＜0时，f′（x），f（x）随着x的变化如下表

x （-∞，a） a （a，-3a） -3a （-3a，+∞）
f′（x） - + -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

函数f（x）的单调递增区间是（a，-3a），函数f（x）的单调递减区间是（-∞，a），（-3a，+∞）．
（Ⅱ）当a=1时，由（Ⅰ）得f（x）是（-3，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．
又当x＞1时，．
所以f（x）在[-3，+∞）上的最小值为，最大值为．
所以对任意x1，x2∈[-3，+∞），．
所以对任意x1，x2∈[-3，+∞），使f（x1）-f（x2）≤m恒成立的实数m的最小值为．