Question

将一个正整数n表示为a₁+a₂+…+a_p（p∈N^*）的形式，其中a_i∈N^*，i=1，2，…，p，且a₁≤a₂≤…≤a_p，记所有这样的表示法的种数为f（n）（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f（4）=5）．
（Ⅰ）写出f（3），f（5）的值，并说明理由；
（Ⅱ）证明：f（n+1）-f（n）≥1（n=1，2，…）；
（Ⅲ）对任意正整数n，比较f（n+1）与的大小，并给出证明．

Answer

（Ⅰ）利用新定义，即可写出f（3），f（5）的值；
（Ⅱ）因为n+1≥2，把n+1的一个表示法中a1=1的a1去掉，就可得到一个n的表示法；反之，在n的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个n+1的表示法，即n+1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数，故可得结论；
（Ⅲ）证明f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）即可．
（Ⅰ）【解析】
因为3=3，3=1+2，3=1+1+1，所以f（3）=3．
因为5=5，5=2+3，5=1+4，5=1+1+3，5=1+2+2，5=1+1+1+2，5=1+1+1+1+1，
所以f（5）=7．
（Ⅱ）证明：因为n+1≥2，把n+1的一个表示法中a1=1的a1去掉，就可得到一个n的表示法；反之，在n的一个表示法前面添加一个“1+”，就得到一个n+1的表示法，即n+1的表示法中a1=1的表示法种数等于n的表示法种数，
所以 f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数．
即 f（n+1）-f（n）≥1．
（Ⅲ）【解析】
结论是f（n+1）．
证明如下：由结论知，只需证 f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．
由（Ⅱ）知：f（n+1）-f（n）表示的是n+1的表示法中a1≠1的表示法数，f（n+2）-f（n+1）是n+2的表示法中a1≠1的表示法数．
考虑到n+1≥2，把一个a1≠1的n+1的表示法中的ap加上1，就可变为一个a1≠1的n+2的表示法，这样就构造了从a1≠1的n+1的表示法到a1≠1的n+2的表示法的一个对应，所以有f（n+1）-f（n）≤f（n+2）-f（n+1）．