Question

提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x≤200时，车流速度v与车流密度x满足．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．
（Ⅰ）当0＜x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到个位，参考数据）

Answer

（I）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在50≤x≤200时的表达式，根据分式函数表达式的形式，用待定系数法可求得；
（II）先在区间（0，50]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（50）=1500，然后在区间[50，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
【解析】
（I）由题意：当0＜x≤50时，v（x）=30；
当50≤x≤200时，由于，
再由已知可知，当x=200时，v（0）=0，代入解得k=2000．
故函数v（x）的表达式为．…（6分）
（II）依题意并由（I）可得，
当0≤x≤50时，f（x）=30x，当x=50时取最大值1500．
当50＜x≤200时，f（x）=40x-=12000-[40（250-x）+]
≤12000-2=12000-4000≈12000-4000×2.236=3056．
取等号当且仅当，即x=250-50≈138时，f（x）取最大值．
（这里也可利用求导来求最大值）
综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时．…（14分）