Question

在直角坐标系xoy中，椭圆C₁：的离心率，F是抛物线C₂：y²=4x的焦点，C₁与C₂交于M，N两点（M在第一象限），且|MF|=2．
（1）求点M的坐标及椭圆C₁的方程；
（2）若过点N且斜率为k的直线l交C₁于另一点P，交C₂于另一点Q，且MP⊥MQ，求k的值．

Answer

（1）由抛物线方程可求得p值，设M（x，y），由抛物线定义及|MF|=2可得x+，解得x=1，进而得y=2，由离心率e=及a2=b2+c2可得a，b关系，从而椭圆方程可变为含b的方程，把M坐标代入即可求得b值，进而得到a值；
（2）点N（1，-2），则直线l的方程为y+2=k（x-1），分别与椭圆方程、抛物线方程联立消掉y、x得x、y的二次方程，由韦达定理可用k表示点P、Q的坐标，从而可得向量的坐标，由MP⊥MQ有，得关于k的方程，解出即可；

【解析】
（1）抛物线C2：y2=4x，2p=4，p=2，
设M（x，y），则|MF|=x+，解得x=1，所以y=2，即M（1，2），
椭圆C1：的离心率，
得 ，，a=2b，
椭圆C1：过点M（1，2），所以，
求得，，
所以椭圆C1的方程是．
（2）点N（1，-2），直线l的方程为y+2=k（x-1），
与C1：y2+4x2=8，联立消去y得：4x2+（kx-k-2）2=8，
整理得（4+k2）x2-2k（k+2）x+k2+4k-4=0（i），
设P（x1，y1），易知1，x1是方程（i）的两根，x1=，
代入直线l的方程得，
y+2=k（x-1）与y2=4x联立消去x得：ky2-4y-4k-8=0（ii），
显然k≠0，设点Q（x2，y2），易知-2，y2是方程（ii）的两根，-2•y2=，
得，代入抛物线得，
故，M（1，2），
，
由MP⊥MQ有，即，
整理得k2+5k+2=0，解得．