Question

已知函数．
（1）若函数f（x）在定义域内为减函数，求实数p的取值范围；
（2）如果数列{a_n}满足a₁=3，，试证明：当n≥2时，．

Answer

（1）由题意得f′（x）≤0在定义域[0，+∞）上恒成立，分离参数得到，利用基本不等式即可求得；
（2）由a1=3可得a2=4，作差可判断an+1＞an，根据单调性可得对n∈N*（n≥2），都有an≥4．由及an≥4，得，两边取对数，借助（1）问结论，利用累加法即可证得；
【解析】
（1）函数的定义域为[0，+∞），
．
依题意，恒成立，所以，
由，知，
∴p≥1，∴p的取值范围为[1，+∞）．
（2）首先，由a1=3，得，
而当an＞0时有，∴an+1＞an，
所以，对n∈N*（n≥2），都有an≥4．
再由及an≥4，
又得，
∴，
∴．
由（1）知当p≥1时f（x）为减函数，取p=1，则f（x）=ln（1+x）-，
当x＞0时f（x）＜f（0）=0，故ln（1+x）≤（x＞0），
∴，
∴，，…．，，
将这n-2个式子相加得，
∴，将a2=4代入得，
故当n≥2时，．