Question

已知函数f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明：且n＞1）

Answer

（1）由f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，知x＞1，，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由f（x）≤0恒成立，知∀x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，故k＞0．f（x）max=f（1+）=ln≤0，由此能求出实数k的取值范围．
（3）令k=1，能够推导出lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2，得到，n≥2，由此能够证明且n＞1）．
【解析】
（1）∵f（x）=1n（x-1）-k（x-1）+1，
∴x＞1，，
∵x＞1，∴当k≤1时，＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；
当k＞0时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）≤0恒成立，
∴∀x＞1，ln（x-1）-k（x1）+1≤0，
∴∀x＞1，ln（x-1）≤k（x-1）-1，
∴k＞0．
由（1）知，f（x）max=f（1+）=ln≤0，
解得k≥1．
故实数k的取值范围是[1，+∞）．
（3）令k=1，则由（2）知：ln（x-1）≤x-2对x∈（1，+∞）恒成立，
即lnx≤x-1对x∈（0，+∞）恒成立．
取x=n2，则2lnn≤n2-1，
即，n≥2，
∴且n＞1）．