Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）=2f（3），y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，则f（2013）=（ ）
A．10
B．-5
C．5
D．0

Answer

由f（x+6）+f（x）=2f（3），可得函数的周期为12，由y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数为奇函数，由此可求结论．
【解析】
由f（x+6）+f（x）=2f（3），知f（x+12）+f（x+6）=2f（3），两式相减，得f（x+12）=f（x）
由y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x-1）+f（1-x）=0，故f（x）是奇函数．
由f（x+6）+f（x）=2f（3），令x=-3，得f（3）=f（-3），于是f（3）=f（-3）=0，
于是f（2013）=f（2013-12×167）=f（9）=f（-3）=0
故选D．