Question

△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且，则AD的长为    ．

Answer

取AC的一个三等分点E，满足AE=AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，求得∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，可得△AFD为等腰三角形，AF=DF=AC，故平行四边形AEDF为菱形．利用余弦定理求得AD、BD、CD的值，再由三角形的内角平分线性质可得 ，由此求得λ的值，从而得到AD的值．
【解析】
△ABC中，∵AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且，
取AC的一个三等分点E，满足AE=AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，
∴∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，故△AFD为等腰三角形，∴AF=DF=AC，故四边形AEDF为菱形．
再由AF=λAB=3λ=DF=AC，可得 AC=9λ，菱形AEDF的边长为3λ．
△AFD中，由余弦定理可得AD2=（3λ）2+（3λ）2-2•3λ•3λ•cos120°=27λ2，∴AD=3λ．
△ABD中，由余弦定理可得 BD2=32+27λ2-2×3×3λ×cos30°=27λ2-27λ+9，∴BD=3．
△ACD中，由余弦定理可得 CD2=81λ2+27λ2-2×9λ×3λ×cos30°=27λ2=3λ．
再由三角形的内角平分线性质可得 ，即 =，解得 λ=，或λ= （舍去）．
故AD=3λ=3×=2，
故答案为 2．