Question

一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）当时，求该多面体的体积．

Answer

（1）证法1（线面平行的判定定理法）：过点E作EG⊥CF于G，连结DG，可证得四边形ADGE为平行四边形，进而AE∥DG，结合线面平行的判定定理得到答案．
（1）证法2：（面面平行的性质法）：由四边形BEFC为梯形，可得BE∥CF，结合线面平行的判定定理可得BE∥平面DCF，同理由AB∥DC，可证AB∥平面DCF，由面面平行的判定定理得到平面ABE∥平面DCF，进而由面面平行的性质得到答案．
（2）由三视图知AB⊥平面BEFC，AD⊥平面DCF，所以AB、AD分别为四棱锥A-BEFC和三棱锥A-DCF的高，代入棱锥体积公式可得答案．
证明：（1）证法1（线面平行的判定定理法）：
过点E作EG⊥CF于G，连结DG
由题设条件可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，
所以AD∥EG，且AD=EG．
从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG…（4分）
又因为AE⊄平面DCF，DG⊂平面DCF，
所以AE∥平面DCF．…（6分）
证法2：（面面平行的性质法）
因为四边形BEFC为梯形，所以BE∥CF．
又因为BE⊄平面DCF，CF⊂平面DCF，
所以BE∥平面DCF．…（2分）
因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥DC．同理可证AB∥平面DCF．
又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线，
所以平面ABE∥平面DCF．…（4分）
又因为AE⊂平面ABE，所以AE∥平面DCF…（6分）
（2）由三视图知AB⊥平面BEFC，AD⊥平面DCF，所以AB、AD分别为四棱锥A-BEFC和三棱锥A-DCF的高．…（7分）
在Rt△EGF中，因为，
所以∠GFE=60°，且GF=1
又因为∠CEF=90°
故CF===4
从而BE=CG=3．…（9分）
多面体的体积V=V四棱锥A-BEFC+V三棱锥A-DCF．（12分）