Question

已知函数f（x）=2f′（1）e^x-1-x，e≈2.7．
（1）已知函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把原函数求导，在导函数中取x=1得到f′（1）的值，则函数解析式可求，由导函数分别大于0和小于0求出原函数的单调增区间和减区间；
（2）把函数f（x）的解析式代入，分离变量a后构造辅助函数g（x）=，利用导函数求函数g（x）的最小值，则实数a的取值范围可求．
【解析】
（1）对f（x）求导，得f′（x）=2f′（1）ex-1-1．
令x=1，得f′（1）=2f′（1）-1，解得f′（1）=1．
从而f（x）=2ex-1-x．
f′（x）=2ex-1-1．
f′（x）＞0⇔2ex-1-1＞0⇔⇔x＞1-ln2；
f′（x）＜0⇔2ex-1-1＜0⇔x＜1-ln2．
所以，f（x）的增区间为（1-ln2，+∞），减区间为（-∞，1-ln2）．
（2）当x时，⇔
⇔ex≥ax+1⇔a≤．
令g（x）=，则．
令h（x）=，则h′（x）=xex＞0．
所以，函数h（x）在[，+∞）上单调递增．
所以．
所以当x时，．
所以，g（x）=在[，+∞）上单调递增.．
由题意，a．
故所求实数a的取值范围是a．