Question

如图所示，正方形AA₁D₁D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点．
（1）求证：BD₁∥平面A₁DE
（2）求证：D₁E⊥A₁D；
（3）求点B到平面A₁DE的距离．

Answer

（1）由题意，设O为AD1的中点，则由三角形的中位线性质可得OE∥BD1，再利用直线和平面平行的判定定理证明BD1∥平面A1DE．
（2）由于D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1A⊥A1D，再利用三垂线定理可得D1E⊥A1D．
（3）由题意可得A、B两点到平面A1DE的距离相等，设为h，根据 =，利用等体积法求得h的值．
（1）证明：∵正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB的中点，设O为AD1的中点，
则由三角形的中位线性质可得OE∥BD1．
由于OE⊂平面A1DE，BD1不在平面A1DE内，故BD1∥平面A1DE．
（2）证明：由题意可得D1A 是D1E在平面AA1D1D内的射影，由正方形的性质可得D1A⊥A1D，
由三垂线定理可得D1E⊥A1D．
 （3）设点B到平面A1DE的距离为h，由于线段AB和平面A1DE交于点E，且E为AB的中点，
故A、B两点到平面A1DE的距离相等，即求点A到平面A1DE的距离h．
由于==，==，
∵=，
∴=，即 =，解得 h=．