Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD：DC：AD=2：3：6．
（Ⅰ）求∠BAC的大小；
（Ⅱ）设E为AB的中点，已知△ABC的面积为15，求CE的长．

Answer

（Ⅰ）在直角三角形ABD与ACD中，利用锐角三角函数定义，根据题意求出tan∠BAD与tan∠CAD的值，由∠BAC=∠BAD+∠CAD，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将各自的值代入计算求出tan∠BAC的值，由∠BAC为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出∠BAC的度数；
（Ⅱ）根据比例设BD=2t，得到DC=3t，AD=6t，由三角形的面积等于BC乘以AD的一半求出t的值，得到BD，DC与AD的长，由E为AB中点，求出AE的长，在三角形ACE中，利用余弦定理即可求出CE的长．
【解析】
（I）由已知得tan∠BAD=，tan∠CAD=，
∴tan∠BAC=tan（∠BAD+∠CAD）==1，
又∠BAC∈（0，π），
∴∠BAC=；
（II）设BD=2t（t＞0），则DC=3t，AD=6t，BC=BD+DC=5t，
由已知得：15t2=15，解得：t=1，
∴BD=2，DC=3，AD=6，
则AE==，AC=3，
由余弦定理得CE2=AE2+AC2-2AE•AC•cos∠BAC=10+45-30=25，
则CE=5．