Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2+t，S₅-S₂=24+3t（t＞0）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=aqⁿ+n，若b₁=a₁，b₅=a₅，试比较a₃与b₃的大小．

Answer

（I）利用a1=2+t，S5-S2=24+3t，确定数列的公差，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）利用bn=aqn+n，b1=a1，b5=a5，确定q2＞1，再作差比较a3与b3的大小．
【解析】
（I）设等差数列{an}的公差为d，则S5-S2=3a1+9d=24+3t．…（2分）
又a1=2+t，则d=2，…（4分）
故an=2n+t．…（6分）
（II）由已知可得aq=1+t＞0，aq5=5+t，…（8分）
相加得3+t=（aq+aq5），…（10分）
又aq5-aq=aq（q4-1）=4，则q4＞1，得q2＞1   …（13分）
则a3-b3=3+t-aq3=，故a3＞b3．  …（14分）