Question

如图，在三棱锥A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=，BC=CD=6，设顶点A在底面BCD上的射影为E．
（Ⅰ）求证：CE⊥BD；
（Ⅱ）设点G在棱AC上，且CG=2GA，试求二面角C-EG-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由E是顶点A在底面BCD上的射影，得到AE垂直于底面，所以AE⊥CD，结合已知可证得CD垂直于平面AED，则CD⊥ED，同理得到BC⊥BE，再利用边的关系得到BCDE为正方形，则问题得证；
（Ⅱ）以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，结合，标出点的坐标，利用平面法向量求二面角的余弦值．
（I）证明：如图，
因为顶点A在底面BCD上的射影为E，所以AE⊥平面BCD，则AE⊥CD，
又AD⊥CD，且AE∩AD=A，则CD⊥平面AED，
又DE⊂平面AED，故CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，则四边形BCDE为矩形，又BC=CD，
则四边形BCDE为正方形，故CE⊥BD．
（II）【解析】
由（I）知BCDE为正方形，
以E为坐标原点，EB，ED，EA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示坐标系，
则E（0，0，0），D（0，6，0），B（6，0，0），C（6，6，0），
在直角三角形AEC中，因为，，所以．
又CG=2GA，所以A（0，0，6），G（2，2，4），
则，，易知平面CEG的一个法向量为，
设平面DEG的一个法向量为，
则由，得，所以x=-2．则，
则，即二面角C-EG-D的余弦值为．