Question

如图，A、B分别是射线OM、ON上的点，给出下列以O为起点的向量：①；②； ③；④；⑤．其中终点落地阴影区域内的向量的序号是    （写出满足条件的所有向量的序号）．

Answer

利用向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1．可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足，且u＞0，v＞0，u+v＞1．据此即可判断出答案．
【解析】
由向量共线的充要条件可得：当点P在直线AB上时，存在唯一的一对有序实数u，v，使得成立，且u+v=1．
可以证明当点P位于阴影区域内的充要条件是：满足，且u＞0，v＞0，u+v＞1．
证明如下：如图所示，点P是阴影区域内的任意一点，过点P作PE∥ON，PF∥OM，分别交OM，ON于点E，F；
PE交AB于点P′，过点P′作P′F′∥OM交ON于点F′，
则存在唯一一对实数（x，y），（u′，v′），使得=，且u′+v′=1，u′，v′唯一；
同理存在唯一一对实数x′，y′使得===，
而x′=x，y″＞y，
∴u=u′，v＞v′，
∴u+v＞u′+v′=1．
即可判断出①∵1+2＞1，∴点P位于阴影区域内，故正确；同理③正确；
而②④不正确；
⑤原式==，而，故不符合条件．
综上可知：只有①③正确．