Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有（a_n-1）（a_n+3）=4S_n，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若数列的前n项和为T_n，试证明不等式＜1成立．

Answer

（I）先将题设中数列的和与项的关系式转化为数列的项的关系式，根据等差数列的定义证明即可；
（II）求出an，再求出数列的通项，用裂项相消法求出Tn，根据Tn的单调性证明即可．
【解析】
（Ⅰ）∵（an-1）（an+3）=4Sn，当n≥2时，（an-1-1）（an-1+3）=4Sn-1，
两式相减，得，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，又an＞0，∴an-an-1=2．
当n=1时，（a1-1）（a1+3）=4a1，∴（a1+1）（a1-3）=0，又a1＞0，∴a1=3．
所以，数是以3为首项，2为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a1=3，d=2，∴an=2n+1．
设，n∈N*；∵an=2n+1，∴
∴
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn==．
又∵，∴，
综上所述：不等式成立．