Question

如图是一直三棱柱（侧棱CD⊥底面ABC）被削去上底后的直观图与三视图的侧（左）视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的重点，侧（左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：AN∥平面CEM；
（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD．

Answer

（I）由平面ABC⊥平面ACDE，结合面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACDE，结合已知三视图中数据可得AC=AB=AE=2，CD=4，代入棱锥体积公式，可得答案．
（II）连接MN，由三角形中位线定理及平行四边形判定定理可得四边形ANME为平行四边形，即AN∥EM，结合线面平行的判定定理可得AN∥平面CEM；
（Ⅲ）根据等腰三角形三线合一，可得AN⊥BC，结合面面垂直的性质定理可得AN⊥平面BCD，结合（II）中AN∥EM，由线面垂直的判定定理得到EM⊥平面BCD，再由面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面BCD．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：
四棱锥B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，
又∵平面ABC∩平面ACDE=AC，AB⊂平面ABC
∴AB⊥平面ACDE，
又∵AC=AB=AE=2，CD=4，…（2分）
则四棱锥B-ACDE的体积为：，
即该几何体的体积为4．…（4分）
证明：（Ⅱ）由题图知，连接MN，则MN∥CD，
且．
又AE∥CD，且，…（6分）
∴MN∥AE，MN=AE，
∴四边形ANME为平行四边形，
∴AN∥EM．
∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，
∴AN∥平面CME．…（8分）
（Ⅲ）∵AC=AB，N是BC的中点，
∴AN⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AN⊂平面ABC
∴AN⊥平面BCD．…（10分）
由（Ⅱ）知：AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD，
又EM⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD．…（12分）