Question

已知椭圆过点D（1，），焦点为F₁，F₂，满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A、B，P为椭圆上一点，且满足（其中O为坐标原点），求整数t的最大值．

Answer

（Ⅰ）把点的坐标代入椭圆方程得到一个关于a，b的方程，由代入坐标后求出c的值，结合a2-b2=c2得到关于a，b的另一方程联立后可求解a，b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入后得到P点的坐标，把P点坐标代入椭圆方程后得到t与k的关系，由k的范围确定t的范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知过点，得，①
记c=，不妨设F1（-c，0），F2（c，0），则=（-c-1，-），=（c-1，-），
由，得c2=1，即a2-b2=1．②
由①、②，得a2=2，b2=1．
故椭的方程为．
（Ⅱ）由题意知，直线AB的斜率存在．
设AB方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）．
由，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k2-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，．
，
∵，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．
，
∵点P在椭圆上，∴．
∴16k2=t2（1+2k2），，
∴-2＜t＜2．
∴t的最大整数值为1．