Question

已知函数f（x）=a（x-1）²+1nx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，求a的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求a的取值范围．

Answer

（I）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），由题意知x1、x2是方程f'（x）=0的两个不相等的实根，建立不等关系解之即可；
（II）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出单调区间；
（III）由题意得对x∈[1，+∞）恒成立，设则问题转化为：使g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，利用导数结合对字母a分类讨，论研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知函数的定义域为（0，+∞），
由已知f'（x）=0两个相异正实数根x1，x2，即2ax（x-1）+1=0有两相异正根，则必有a＞0，从而解得a＞2．…（4分）
（Ⅱ），
∴，
所以，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，2）；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）的单调递减区间是（2，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）由题意得对x∈[1，+∞）恒成立，
设则使g（x）max≤0，x∈[1，+∞）成立，
求导得，
（1）当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0．
（2）当时，，则g（x）在单调递减，单调递增，
存在，有，
所以不成立．
（3）当时，则g'（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）单调递增，
所以存在x＞1，使得g（x）＞g（1）=0，则不符合题意．
综上所述a≤0．…（13分）