Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AB=2，CC₁=4，M是棱CC₁上一点．
（Ⅰ）求证：BC⊥AM；
（Ⅱ）若M，N分别为CC₁，AB的中点，求证：CN∥平面AB₁M．

Answer

（I）在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，利用线面垂直的性质定理可得 CC1⊥BC．由已知 AC=BC=2，，可得AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理得到BC⊥AC．    再利用线面垂直的判定定理可得BC⊥平面ACC1A1．进而利用线面垂直的性质定理即可得出结论．
（II） 过N作NP∥BB1交AB1于P，连接MP，则NP∥CC1． 由已知 M，N分别为CC1，AB中点，利用平行线分线段成比例定理可得，．进而可得四边形MCNP是平行四边形，利用其性质可得 CN∥MP．再利用线面平行的判定定理即可证明结论．
证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC，
∴CC1⊥BC．              
∵AC=BC=2，，
∴AC2+BC2=AB2，
∴BC⊥AC．    
又∵AC∩CC1=C，
∴BC⊥平面ACC1A1．                      
∵AM⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥AM．                             
（Ⅱ）过N作NP∥BB1交AB1于P，连接MP，则NP∥CC1． 
∵M，N分别为CC1，AB中点，
∴，．
∵BB1=CC1，
∴NP=CM．         
∴四边形MCNP是平行四边形．
∴CN∥MP．                               
∵CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，
∴CN∥平面AB1 M．