Question

如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥平面ABC，点C在平面PBA内的射影D在直线PB上．
（1）求证：AB⊥平面PBC；
（2）设AB=BC，直线PA与平面ABC所成的角为45°，求异面直线AP与BC所成的角；
（3）在（2）的条件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer

（1）要证AB⊥平面PBC，可证AB⊥PC，AB⊥CD，由线面垂直的性质及点在面内射影的定义可证明；
（2）由PC⊥平面ABC，知∠PAC=45°，设AB=BC=1，则PC=AC=，以B为原点建立空间直角坐标系，求出点B、A、C、P坐标，进而写出的坐标，则异面直线AP与BC所成的角可转化为的夹角计算，注意其与异面角间的关系；
（3）取AC的中点E，连结BE，易证是平面PAC的一个法向量．设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），由可求得，从而二面角C-PA-B的余弦值可转化为两法向量的夹角余弦值，注意向量的夹角与二面角夹角的关系；
证明：（1）由于PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以AB⊥PC，
由于点C在平面PBA内的射影在直线PB上，
所以CD⊥平面PAB．
又因为AB⊂平面PBA，所以AB⊥CD．
因此AB⊥平面PCB．
【解析】
（2）因为PC⊥平面ABC，
所以∠PAC为直线PC与平面ABC所成的角，
于是∠PAC=45°，设AB=BC=1，则PC=AC=，
以B为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），，
，
因为，
所以异面直线AP与BC所成的角为60°；
（3）取AC的中点E，连结BE，则．
因为AB=BC，所以BE⊥AC．
又因为平面PCA⊥平面ABC，所以BE⊥平面PAC．
因此，是平面PAC的一个法向量．
设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），
则由，得，取z=1，得，
因此，，
于是cos＜＞===．
又因为二面角C-PA-B为锐角，故所求二面角的余弦值为．