Question

已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足bn=，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：当n≥5时，a_nS_n＜1．

Answer

（1）、根据题中已知条件结合等差数列的性质便可求出关于q的一元二次方程，解方程便可得出符合条件q的值，进而求得数列{an}的通项公式；
（2）、先求出Sn，找出所需证明的不等式的关系，然后分别讨论当n=5和n＞5两种情况下不等式恒成立即可．
【解析】
（1）由已知得a2-a3=2（a3-a4）．
从而得2q2-3q+1=0
解得（舍去）…（4分）
所以an=a1•qn-1=•（）n-1=．
∴数列{an}的通项公式为；…（6分）
（2）由于．
因此所证不等式等价于：2n＞n（n+1）（n≥5．）
①当n=5时，因为左边=32，右边=30，32＞30，所以不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时不等式成立，即2k＞k（k+1），
两边同乘以2得2k+1＞（k+1）（k+2）．
这说明当n=k+1时也不等式成立．
由①②知，当n≥5时，2n＞n（n+1）成立．
因此，当n≥5时，anSn＜1成立．…（12分）