Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD．E为AB中点，F为PC中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角C-PE-A的余弦值；
（Ⅲ）若四棱锥P-ABCD的体积为4，求AF的长．

Answer

（I）由题意PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，利用已知BC⊥AB，利用线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，进而利用线面垂直的性质得到线线垂直；
（II）利用题中的条件建立空间直角坐标系，先写出各个点的坐标，利用两平面的法向量的夹角求解二面角的大小；
（III）利用方程的思想及棱锥的体积公式计算出未知变量的大小．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵E为AB中点，∴PE⊂平面PAB．
∴BC⊥PE．

（Ⅱ）建立直角坐标系A-xyz，设AB=1，则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），，，
由（I）知，BC⊥平面PAE，∴是平面PAE的法向量．
设平面PEC的法向量为=（x，y，z），则且
∴，=（2，-1，1）
∴，
二面角C-PE-A的余弦值为．
（Ⅲ）连接BC，设AB=a
∵∴a=2
∵△PAC是直角三角形∴．