Question

如图的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求直线CE与平面ADE所成角的正弦值．

Answer

（1）取CE的中点G，连结FG，BG，先证明四边形GFAB为平行四边形，可得AF∥BG，再利用线面平行的判定方法，即可证明结论；
（2）取AD的中点H，连结CH，EH，证明∠CEH为CE与平面ADE所成角，再利用正弦函数即可求得．
（1）证明：取CE的中点G，连结FG，BG．
∵F为CD的中点，
∴GF∥DE且GF=DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥DE，
∴GF∥AB． …（2分）
又AB=DE，∴GF=AB． 
∴四边形GFAB为平行四边形，∴AF∥BG                         …（4分）
∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE．                                         …（6分）
（2）【解析】
取AD的中点H，连结CH，EH．
∵△ACD为等边三角形，∴CH⊥AD
又DE⊥平面ACD，CH⊂面ACD
∴CH⊥DE
∵AD∩DE=D
∴CH⊥平面ADE 
∴∠CEH为CE与平面ADE所成角．…（8分）
不妨设AD=2，则DE=CD=2，CE=2，CH=．
在Rt△CHE中，sin∠CEH==
∴直线CE与面ADE所成角的正弦值为．…（12分）