Question

已知动圆过定点A（2，0），且与直线X=-2相切．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点（0，1）的直线l，与轨迹C交于P，Q两点，且以线段PQ为直径的圆过定点A？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）利用动圆过定点A（2，0），且与直线X=-2相切，根据抛物线的定义，可得轨迹C为以A（2，0）为焦点，X=-2为准线的抛物线，由此可得动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量知识，即可求出直线l的方程．
【解析】
（1）由题意可知，圆心到定点A（2，0）的距离与到定直线X=-2的距离相等，
由抛物线定义可知，轨迹C为以A（2，0）为焦点，X=-2为准线的抛物线，
∴p=2，∴抛物线方程为y2=8x                  …（4分）
（2）假设存在直线l符合题意．…（5分）
由题意易知，直线l的斜率k存在且不为零，
又因过点（0，1），故设直线l的方程为y=kx+1，…（6分）
联立直线与抛物线方程得，消元整理得k2x2+（2k-8）x+1=0，
设交点坐标为P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=（2k-8）2-4k2＞0，∴k＜2 ①
且x1+x2=，；                                         …（9分）
∴=（x1-2，y1）•（x2-2，y2）=（k2+1）x1x2+（k-2）（x1+x2）+5
=+（k-2）•（）+5==0
∴k=符合①，…（12分）
所以存在符合题意的直线l，其方程为y=（）x+1．…（13分）