Question

如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E为PB的中点，AC=AD=BC=1，PC=2．
（I）求证：DE∥平面ABC：
（II）求证：PD⊥平面BCD；
（III）设Q为PB上一点，=λ，试确定λ的值使得二面角Q-CD-B为45°．

Answer

（I）建立如图所示的空间直角坐标系，可知为平面ABC的一个法向量，利用⇔，DE⊄平面ABC，⇔DE∥平面ABC即可证明．
（II）利用=0⇔PD⊥BC，⇔PD⊥CD．及BC∩DC=C，即可证明PD⊥平面BCD．
（III）由（II）可知：=（1，0，-1）为平面BCD的法向量，由，，λ∈（0，1），可得Q（0，λ，-2λ+2）．再求出平面QCD的一个法向量，利用两个法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．
（I）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，1，0），D（1，0，1），P（0，0，2），E，
．
可知为平面ABC的一个法向量，
∵，∴．
∵DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（II）证明：∵，=（0，1，0），=（1，0，1）．
∴=0，．
∴PD⊥BC，PD⊥CD．∵BC∩DC=C，
∴PD⊥平面BCD．
（III）【解析】
由（II）可知：=（1，0，-1）为平面BCD的法向量，
∵，，λ∈（0，1）．
∴Q（0，λ，-2λ+2）．
设平面QCD的法向量为，由，得，
令z=1，则x=-1，，∴，λ∈（0，1）．
∴cos45°===，
解得．