Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y=x²的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若A、B是椭圆C上关x轴对称的任意两点，设P（-4，0），连接PA交椭圆C于另一点E，求证：直线BE与x轴相交于定点M；
（III）设O为坐标原点，在（II）的条件下，过点M的直线交椭圆C于S、T两点，求•的取值范围．

Answer

（I）设出题意方程，利用离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，建立方程组，即可求椭圆C的标准方程；
（II）设出直线PA方程，代入椭圆方程，设出直线BE方程，利用韦达定理，令y=0，即可证得结论；
（III）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及向量的数量积公式，即可求•的取值范围．
（I）【解析】
设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），抛物线方程可化为，其焦点为（0，）
由题意，可得，∴
∴椭圆C的标准方程为；
（II）证明：由题意可知直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y=k（x+4）
代入椭圆方程可得（4k2+3）x2+32k2x+64k2-12=0①
设A（x1，y1），E（x2，y2），则B（x1，-y1），
直线BE的方程为
令y=0，可得
将y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式，整理可得②
由①得x1+x2=-，
代入②整理可得x=-1
∴直线BE与x轴相交于定点M（-1，0）；
（III）【解析】
当过点M的直线ST的斜率存在时，设直线ST的方程为y=m（x+1），且设S（x1，y1），T（x2，y2）在椭圆C上，
直线代入椭圆方程，可得（4m2+3）+8m2x+4m2-12=0
△=144（m2+1）＞0，x1+x2=-，x1x2=
∴y1y2=m2（x1+1）（x2+1）=-
∴==--
∵m2≥0，∴∈[-4，-）
当过点M的直线ST的斜率不存在时，直线ST的方程为x=-1，S（-1，），T（-1，-）
∴=-
综上所述，•的取值范围为[-4，-]．