Question

已知函数f（x）=x--3lnx+1
（I）求函数f（x）的单调区间：
（II）求f（x）在区间[1，e²]上的值域；
（III）若方程7f（x）+m=+4x在[l，4]上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

Answer

（I）求出函数f（x）的定义域，求出f′（x），列出x变化时，f′（x），f（x）的变化情况表，由表即可得其单调区间；
（II）由（I）可知f（x）在[1，e2]上的极值，再求出f（x）在区间端点处的函数值，其最小者为最小值，最大者为最大值，从而得值域；
（III）方程7f（x）+m=+4x可化为3（x--7lnx）+7+m=0，令g（x）=3（x--7lnx）+7+m，则方程7f（x）+m=+4x在[1，4]上有两个不相等的实数根等价于g（x）=0在[1，4]上有两个不相等的实数根，
利用导数可求得g（x）在[1，4]上的极值及区间端点处的函数值，结合图象可得不等式组，解出即可；
【解析】
（I）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=1+-==，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

所以f（x）在（0，1）和（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减．
（II）由（I）可知在区间（1，e2）内，当x=2时，f（x）取得极小值，
由f（1）=0，f（2）=2-3ln2，f（e2）=-5，
因为f（2）＜f（1）＜f（e2），所以f（x）在区间[1，e2]上的值域为[2-3ln2，-5]；
（III）由f（x）=x--3lnx+1及7f（x）+m=+4x，得3（x--7lnx）+7+m=0，
令g（x）=3（x--7lnx）+7+m，则方程7f（x）+m=+4x在[1，4]上有两个不相等的实数根等价于g（x）=0在[1，4]上有两个不相等的实数根，
g′（x）=3（1+-）==，x∈[1，4]，
当x∈[1，2）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，2]上单调递增；
当x∈（2，4]时，g′（x）＜0，g（x）在[2，4]上单调递减，
依题意，g（x）=0在[1，4]上有两个不相等的实数根，
则，解得21ln2+2＜m≤42ln2-，
所以实数m的取值范围是（21ln2+2，42ln2-]．