Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，D是AC中点，且AB₁⊥BC₁
（Ⅰ）求侧棱AA₁的长；
（Ⅱ）求二面角D-BC₁-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取A1B1中点E，连接BC1，EC1，可得△ABB1∽△BB1E，从而可求侧棱AA1的长；
（Ⅱ）过D做DO⊥BC，垂足为O，过O做OG⊥BC1，垂足为G，连接DG，则DG⊥BC1，故∠OGD为二面角D-BC1-C的平面角，计算OD，OG，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：取A1B1中点E，连接BC1，EC1，
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴AB1⊥EC1
∵AB1⊥BC1，BC1∩EC1=C1，
∴AB1⊥平面BEC1，∴AB1⊥BE
∴△ABB1∽△BB1E
∴
∵AB=2，∴
∴    …（6分）
（Ⅱ）【解析】
过D做DO⊥BC，垂足为O，过O做OG⊥BC1，垂足为G，连接DG，则DG⊥BC1，
∴∠OGD为二面角D-BC1-C的平面角
在△CBC1中，由等面积可得OG==
∵OD==
∴∠OGD=45°
∴二面角D-BC1-C的余弦值为．…（12分）